Question

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的每條棱長均為a，M為棱A₁C₁上的動點．

（1）當M在何處時，BC₁//平面MB₁A，并證明之；

（2）在（1）下，求平面MB₁A與平面ABC所成的二面角的大小；

（3）求B—AB₁M體積的最大值．

Answer 1

解：（I）當M在A₁C₁中點時，BC₁//平面MB₁A

∵M為A₁C₁中點，延長AM、CC₁，使AM與CC₁延長線交于N，則NC₁=C₁C=a

連結NB₁并延長與CB延長線交于G，則BG=CB，NB₁=B₁G     （2分）

在△CGN中，BC₁為中位BC₁//GN

又GN平面MAB₁，∴BC₁//平面MAB₁ （4分）

（II）∵△AGC中， BC=BA=BG     ∴∠GAC=90°

 即AC⊥AG     又AG⊥AA₁   

      （6分）

 ∴∠MAC為平面MB₁A與平面ABC所成二面角的平面角

 

 ∴所求二面角為               （8分）

（Ⅲ）設動點M到平面A₁ABB₁的距離為h_M．

  即B—AB₁M體積最大值為此時M點與C₁重合．   （14分）