Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M為不等式f（x）＜2的解集． （Ⅰ）求M；
（Ⅱ）證明：當a，b∈M時，|a+b|＜|1+ab|．

Answer 1

【答案】解：（I）當x＜﹣ 時，不等式f（x）＜2可化為： ﹣x﹣x﹣ ＜2， 解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜﹣ ，
當﹣ ≤x≤ 時，不等式f（x）＜2可化為： ﹣x+x+ =1＜2，
此時不等式恒成立，
∴﹣ ≤x≤ ，
當x＞ 時，不等式f（x）＜2可化為：﹣ +x+x+ ＜2，
解得：x＜1，
∴ ＜x＜1，
綜上可得：M=（﹣1，1）；
證明：（Ⅱ）當a，b∈M時，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2 ，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2 ，
即|a+b|＜|1+ab|
【解析】（I）分當x＜﹣ 時，當﹣ ≤x≤ 時，當x＞ 時三種情況，分別求解不等式，綜合可得答案；（Ⅱ）當a，b∈M時，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2 ， 配方后，可證得結論．
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號即可以解答此題．