Question

已知函數f（x）=xln（ax）+e^x-1在點（1，0）處的切線經過橢圓4x²+my²=4m的右焦點，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  5

  5

• C、

  3

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：求出函數的導函數，把x=1代入導函數求出的函數值即為切線方程的斜率，把x=1代入函數解析式中得到切點的縱坐標，進而確定出切點坐標，根據求出的斜率和切點坐標寫出切線方程求得m，從而求得橢圓的離心率即可．

解答：解：由題意得：y′=ln（ax）+1+e^x-1，
把x=1代入得：y′|_x=1=lna+2，
即切線方程的斜率k=lna+2，
且把x=1代入函數解析式得：y=lna+1=0，即a=

1

e

，
則所求切線方程為：y-1=x，即y=x+1．
則橢圓4x²+my²=4m的焦點為（1，0）
∴c²=m-4=1，m=5
∴e=

c

a

=

1

5

故選B．

點評：此題考查橢圓的簡單性質、學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道基礎題．