Question

已知函數y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，那么（Ⅰ）函數的最小正周期是什么？（Ⅱ）函數在什么區間上是增函數？

Answer 1

分析：（Ⅰ） 先利用二倍角公式化簡可得y=sin2x+cos2x+2，再利用輔助角公式化簡得y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，從而可求函數的最小正周期；
（Ⅱ） 整體思維，利用正弦函數的單調性，可得2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，化簡即可得到函數的增區間．

解答：解：（Ⅰ） y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x
=1+sin2x+（1+cos2x）
=sin2x+cos2x+2-------------------------------------------------（2分）
=

2

sin(2x+

π

4

)+2，---------------------------------------------------（5分）
∴函數的最小正周期是π．--------------------------------------（6分）
（Ⅱ） 由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z---------------------------（8分）
得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

--------------------------------------------------------（10分）
∴函數的增區間為：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z--------------------------------（12分）

點評：本題重點考查三角函數的化簡，考查三角函數的性質，正確運用二倍角公式及輔助角公式是解題的關鍵．