Question

某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨即在這兩條流水線上各抽取40件產品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量值落在（495，510]的產品為合格品，否則為不合格品．圖1是甲流水線樣本的頻率分布直方圖，表1是乙流水線樣本頻數分布表．

（1）若以頻率作為概率，試估計從甲流水線上任取5件產品，求其中合格品的件數X的數學期望；
（2）從乙流水線樣本的不合格品中任意取2件，求其中超過合格品重量的件數Y的分布列；
（3）由以上統計數據完成下面2×2列聯表，并回答有多大的把握認為“產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關”．

	甲流水線	乙流水線	合計
合格品	a=	b=
不合格品	c=	d=
合　計			n=

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：下面的臨界值表供參考：
（參考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析：（1）根據所給的每一組的頻數和樣本容量做出每一組的頻率，在平面直角坐標系中做出頻率分步直方圖．
（2）根據所給的以樣本中的合格品數，除以樣本容量做出合格品的頻率，可估計從乙流水線上任取一件產品該產品為合格品的概率，得到變量符合二項分布，做出概率．
（3）根據所給的數據，列出列聯表，根據所給的觀測值的公式，代入數據做出觀測值，同臨界值進行比較，得到有90%的把握認為產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關．

解答：解：（1）由圖1知，甲樣本中合格品數為（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，
故合格品的頻率為

36

40

=0.9，
據此可估計從甲流水線上任取一件產品該產品為合格品的概率P=0.9，
則X～（5，0.9），EX=4.5---------（4分）
（2）由表1知乙流水線樣本中不合格品共10個，超過合格品重量的有4件；
則Y的取值為0，1，2；且P(Y=k)=

C k 4 • C 2-k 6

C 2 10

   (k=0，1，2)，于是有：P(Y=0)=

1

3

 ，   P(Y=1)=

8

15

 ， P(Y=2)=

2

15

∴Y的分布列為

Y	0	1	2
P	1 3	8 15	2 15

------（10分）

	甲流水線	乙流水線	合計
合格品	a=36	b=30	66
不合格品	c=4	d=10	14
合　計	40	40	n=80

（3）2×2列聯表如下：
∵K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

80×(360-120)2

66×14×40×40

≈3.117＞2.706
∴有90%的把握認為產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關．------（14分）

點評：本題考查頻率分步直方圖，考查列聯表，觀測值的求法，是一個獨立性檢驗，我們可以利用臨界值的大小來決定是否拒絕原來的統計假設，若值較大就拒絕假設，即拒絕兩個事件無關