Question

考查下列四個命題：
①已知直線l，二次函數的圖象（拋物線）C，則“直線l與拋物線C有且只有一個公共點”是“直線l與拋物線C相切”的必要不充分條件
②“a+b=0”是“直線y=x+2與圓（x-a）²+（y+b）²=2相切”的充分不必要條件
③“a²+b²=0”是“函數f（x）=x|x+a|+b是奇函數”的充分不必要條件
④“f（x）的最小正周期為6”是“函數f（x）對于任意實數X，有f（x+3）=-

1

f(x)

”的充分必要條件
其中所有正確的命題是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、③④
• D、①②④

Answer 1

分析：“直線l與拋物線C有且只有一個公共點”?“直線l與拋物線C相切或相交”，“直線l與拋物線C相切”?“直線l與拋物線C有且只有一個公共點”．①成立；“a+b=0”?“直線y=x+2與圓（x-a）²+（y+b）²=2相切”，“直線y=x+2與圓（x-a）²+（y+b）²=2相切”?“a+b=0，或a+b=-4”．②成立；“a²+b²=0”?“函數f（x）=x|x+a|+b是奇函數”，③不成立；“f（x）的最小正周期為6”?“函數f（x）對于任意實數X，有f（x+3）=-

1

f(x)

”，④不成立．

解答：解：若“直線l與拋物線C有且只有一個公共點”，
則“直線l與拋物線C相切或相交”；
若“直線l與拋物線C相切”，
則“直線l與拋物線C有且只有一個公共點”．
故①成立；
若“a+b=0”，則“直線y=x+2與圓（x-a）²+（y+b）²=2相切”；
若“直線y=x+2與圓（x-a）²+（y+b）²=2相切”，
則“a+b=0，或a+b=-4”．
故②成立；
若“a²+b²=0”，則“函數f（x）=x|x+a|+b是奇函數”，
若“函數f（x）=x|x+a|+b是奇函數”，則“a²+b²=0”．
故③不成立；
若“f（x）的最小正周期為6”，則“函數f（x）對于任意實數X，有f（x+3）=-

1

f(x)

”，
若“函數f（x）對于任意實數X，有f（x+3）=-

1

f(x)

”，則“f（x）的最小正周期為6”．
故④不成立．
故選A．

點評：本題考查充分條件、必要條件、充要條件的性質和應用，解題時要認真審題，注意直線和曲線相切、函數的周斯等性質的合理運用．