Question

 （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填涂題目標記. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

A. 選修4－1：幾何證明選講

如圖，是⊙的直徑，是⊙上的兩點，⊥，

過點作⊙的切線FD交的延長線于點．連結交

于點.

    求證：.

 

B. 選修4－2：矩陣與變換

求矩陣的特征值及對應的特征向量.

 

C. 選修4－4：坐標系與參數方程

已知曲線的極坐標方程是，直線的參數方程是（為參數）．

   （1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；

   （2）設直線與軸的交點是，是曲線上一動點，求的最大值.

 

D．選修4－5：不等式選講

    設均為正數，且，求證

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

A. 選修4－1：幾何證明選講

【證明】連結OF．

因為DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．

所以∠OFC+∠CFD=90°．

因為OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．         

因為CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．  ………………………5分

所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．

因為DF是⊙O的切線,所以DF²=DB·DA．所以DE²=DB·DA．  ……………10分

B. 選修4－2：矩陣與變換

【解】特征多項式，  …………3分

由，解得.    ………………………………………6分

將代入特征方程組，得.

可取為屬于特征值₁=1的一個特征向量． …………………………8分

將代入特征方程組, 得.

可取為屬于特征值的一個特征向量．    

綜上所述,矩陣有兩個特征值；屬于的一個特征向量為，

屬于 的一個特征向量為 ．   ………………………………10分

C. 選修4－4：坐標系與參數方程

【解】（1）曲線的極坐標方程可化為.      ……………………2分

又,

所以曲線的直角坐標方程為.      ………………………4分

   （2）將直線l的參數方程化為直角坐標方程,得.…………………6分

    令,得,即點的坐標為(2,0).

    又曲線為圓，圓的圓心坐標為(1,0)，半徑，則. _­­…………8分

 所以．   ………………………………10分

D．選修4－5：不等式選講

【證明】因為，

當且僅當時等號成立．

     又因為，

所以        ……………10分