Question

【題目】已知數列{an}滿足：an+1＞2an﹣an﹣1（n＞1．n∈N*），給出下述命題： ①若數列{an}滿足：a2＞a1 ， 則an＞an﹣1（n＞1，n∈N*）成立；
②存在常數c，使得an＞c（n∈N*）成立；
③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），則ap+aq＞am+an；
④存在常數d，使得an＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立
上述命題正確的個數為（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵an+1＞2an﹣an﹣1（n＞1．n∈N*）， ∴an+1﹣an＞an﹣an﹣1（n＞1，n∈N*）或an﹣1﹣an＞an﹣an+1（n＞1，n∈N*）．
∴數列函數{an}為增函數，且連接相鄰兩點連線的斜率逐漸增大，
或數列函數{an}為減函數，且連接相鄰兩點連線的斜率逐漸減小．
對于①，若a2＞a1 ， 則數列函數{an}為增函數，∴an＞an﹣1（n＞1，n∈N*）成立，命題正確；
對于②，若數列函數{an}為減函數，則命題錯誤；
對于③，若數列函數{an}為減函數，則命題錯誤；
對于④，若數列函數{an}為減函數，則命題錯誤．
故選：A．
【考點精析】通過靈活運用數列的通項公式，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．