Question

若a．b．c是不全相等的正數，求證：lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

a+c

2

＞lg a+lg b+lg c．

Answer 1

分析：先根據基本不等式可得

a+b

2

≥

ab

＞0，

b+c

2

≥

bc

＞0，

a+c

2

≥

ac

＞0，然后根據不等式的性質可得

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc成立，兩邊同取常用對數，即可證得結論．

解答：證明：∵a，b，c∈R⁺，
∴

a+b

2

≥

ab

＞0，

b+c

2

≥

bc

＞0，

a+c

2

≥

ac

＞0…（4分）
又上述三個等式中等號不能同時成立
∴

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc成立．…（6分）
lg（

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

）＞lgabc
∴lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

a+c

2

＞lg a+lg b+lg c．…（12分）

點評：本題主要考查了對數函數性質的綜合應用，以及基本不等式的應用，同時考查了轉化的數學思想，屬于中檔題．