Question

【題目】已知函數（為自然對數的底，，為常數且）

（1）當時，討論函數在區間上的單調性；

（2）當時，若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）時，求得，當時，恒有．當時，由，得，由，得，再由和分類討論，能求出結果．

（2）當時，求得，推導出，再由和進行分類討論經，利用導數的性質能求出足條件的實數的取值范圍．

（1）由題知時，，， ，

①當時，得函數在上單調遞減；

②當時，由，得，由，得，

Ⅰ.當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

Ⅱ.當時，函數在區間上單調遞增．

（2）時，，

則，

由（1）知，函數在區間上單調遞增，

所以當時，，即，

∴．

①當時，在區間上恒成立，即在上單調遞增，

∴（合題意）．

②當時，

由，得，且在上單調遞增，

又，，，，

故在上存在唯一的零點，當時，，

即在上遞減，此時，知在上遞減，

此時與已知矛盾（不合題意），

綜上：滿足條件的實數的取值范圍是．