Question

【題目】已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離比它到直線距離少1．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)，，與曲線交于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率分別為，，試探究是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出定值，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意結(jié)合拋物線定義直接寫出方程即可；（2）設(shè)，，，，直線方程為，直線方程為．分別與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，找出，之間的關(guān)系，得出定值.

解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)．

由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)距離和到直線距離相等，

由拋物線定義得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．

（2）設(shè)．

由題意可令直線方程為，直線方程為．

將直線方程代入拋物線方程，并化簡(jiǎn)得．

則，．

將直線方程代入拋物線方程，并化簡(jiǎn)得．

則，同理可得．

因此

故，即為定值．