Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1、x2滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，且f（1）=0，則f（2017）=（ ）
A.4032
B.2016
C.2017
D.4034

Answer 1

【答案】A
【解析】解：f（1）=0， f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，
f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，
f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，
…
∴f（n）=2n﹣2．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
⑴當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=2×1﹣2=0，結(jié)論成立．
⑵假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即f（k）=2k﹣2，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k﹣2+2=2k，
結(jié)論也成立，
由（1）、（2）知，f（n）=2n﹣2．
∴f（2017）=2×2017﹣2=4032．
故選：A．