Question

在數列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p為常數），則稱{a_n}為“等方差數列”，下列是對“等方差數列”的判斷；
①若{a_n}是等方差數列，則{a_n²}是等差數列；
②{（-1）ⁿ}是等方差數列；
③若{a_n}是等方差數列，則{a_kn}（k∈N^*，k為常數）也是等方差數列；
④若{a_n}既是等方差數列，又是等差數列，則該數列為常數列．
其中正確命題序號為

 

．（將所有正確的命題序號填在橫線上）

Answer 1

分析：根據等差數列的性質及題中的等方差數列的新定義，即可判斷出正確的答案．

解答：解：①因為{a_n}是等方差數列，所以a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p為常數）成立，
得到{a_n²}為首項是a₁²，公差為p的等差數列；
②因為a_n²-a_n-1²=（-1）²ⁿ-（-1）^2n-1=1-（-1）=2，所以數列{（-1）ⁿ}是等方差數列；
③數列{a_n}中的項列舉出來是：a₁，a₂，…，a_k，a_k+1，a_k+2，…，a_2k，…，a_3k，…
數列{a_kn}中的項列舉出來是：a_k，a_2k，a_3k，…
因為a_k+1²-a_k²=a_k+2²-a_k+1²=a_k+3²-a_k+2²=…=a_2k²-a_k²=p
所以（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=a_2k²-a_k²=kp，
類似地有a_kn²-a_kn-1²=a_kn-1²-a_kn-2²=…=a_kn+3²-a_kn+2²=a_kn+2²-a_kn+1²=a_kn+1²-a_kn²=p
同上連加可得a_kn+1²-a_kn²=kp，所以，數列{a_kn}是等方差數列；
④{a_n}既是等方差數列，又是等差數列，所以a_n²-a_n-1²=p，且a_n-a_n-1=d（d≠0），所以a_n+a_n-1=

p

d

，聯立解得a_n=

d

2

+

p

2d

，
所以{a_n}為常數列，當d=0時，顯然{a_n}為常數列，所以該數列為常數列．
綜上，正確答案的序號為：①②③④
故答案為：①②③④

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的性質及新定義等方差數列化簡求值，是一道中檔題．