Question

（08年長(zhǎng)沙市模擬文）（13分） 已知函數(shù)f(x)=ax³+bx²-3x在處取得極值。

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）求證：對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁,x₂，都有；

（3）若過(guò)點(diǎn)A(1,m)(m?-2)可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解析：（1），依題意，，

即，解得  3分

（2）

當(dāng)-1<x<1時(shí)，，故f(x)在區(qū)間[-1,1]上為減函數(shù)，

∵對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x₁,x₂，

都有

  7分

（3），

 ∵曲線方程為y=x3-3x，∴點(diǎn)A(1,m)不在曲線上，

設(shè)切點(diǎn)為M(x₀,y₀)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足。

因，故切線的斜率為，

整理得。

∵過(guò)點(diǎn)A(1,m)可作曲線的三條切線，

∴關(guān)于x₀方程有三個(gè)實(shí)根。  9分

設(shè)，則，

由，得x₀=0或x₀=1。

在上單調(diào)遞增，在（0,1）上單調(diào)遞減。

∴函數(shù)的極值點(diǎn)為x₀=0，x₀=1

∴關(guān)于x₀方程有三個(gè)實(shí)根的充要條件是

，解得-3<m<-2。

故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3<m<-2。……13分