【題目】已知直線y=﹣x+1與橢圓 
+ 
=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的離心率為 
，焦距為2，求線段AB的長；
（2）若向量 
與向量 
互相垂直（其中O為坐標原點），當橢圓的離心率e∈[ 
， 
]時，求橢圓的長軸長的最大值．
【答案】
（1）解：∵ 
，2c=2，
∴a= 
，b= 
，
∴橢圓的方程為 
．
聯(lián)立 
，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 
， 
，
∴|AB|= 
= 
= 
．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
∵ 
，∴ 
，
即x1x2+y1y2=0，
由 
，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，
由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1
∵ 
， 
，
∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1，
∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，
∴ 
，
整理得：a2+b2﹣2a2b2=0．
∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得
2a2=1+ 
，∴ 
，
∵ 
，
∴ 
，∴ 
，
∴ 
，∴ 
，
∴ 
適合條件a2+b2＞1．
由此得 
，∴ 
，
故長軸長的最大值為 
．
【解析】（1）由橢圓的離心率為 
，焦距為2，求出橢圓的方程為 
．聯(lián)立 
，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，再由弦長公式能求求出|AB|．（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由 
，知x1x2+y1y2=0，由 
，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，再由根的判斷式得到a2+b2＞1，利用韋達定理，得到a2+b2﹣2a2b2=0．由此能夠推導出長軸長的最大值．
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【題目】已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象經(jīng)過點
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并判斷奇偶性;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(﹣
,0)上的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明.
(3)作出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的大致圖象(不必寫出作圖過程).
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【題目】橢圓Γ： 
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 焦距為2c，若直線y= 
與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1 ， 則該橢圓的離心率等于 ．
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【題目】某市出租車的現(xiàn)行計價標準是：路程在2 km以內(nèi)(含2 km)按起步價8元收取，超過2 km后的路程按1.9 元/km收取，但超過10 km后的路程需加收50%的返空費(即單價為1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km))．
（1）將某乘客搭乘一次出租車的費用f(x)(單位：元)表示為行程x(0<x≤60，單位：km)的分段函數(shù)；
（2）某乘客的行程為16 km，他準備先乘一輛出租車行駛8 km后，再換乘另一輛出租車完成余下行程，請問：他這樣做是否比只乘一輛出租車完成全部行程更省錢？
(現(xiàn)實中要計等待時間且最終付費取整數(shù)，本題在計算時都不予考慮)
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， 且a1=2，an+1=2Sn+2．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，且bn是 
與 
的等比中項，求bn的前n項和Tn ．
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【題目】濮陽市黃河灘區(qū)某村2010年至2016年人均純收入（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代號x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
（Ⅰ）求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2010年至2016年該村人均純收入的變化情況，并預(yù)測該村2017年人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小乘法估計公式分別為： 
= 
， 
= 
﹣ 
．
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【題目】已知函數(shù)
.
（1）判斷函數(shù)
的奇偶性；
（2）判斷并證明
)在
）上的單調(diào)性；
（3）若
對任意
恒成立，求
的取值范圍.
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【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= 
，點E是PD的中點.
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E—AC—D的大��；
（Ⅲ）求點P到平面EAC的距離.
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【題目】為減少空氣污染，某市鼓勵居民用電（減少燃氣或燃煤），采用分段計費的方法計算：電費每月用電不超過100度時，按每度0.57元計算；每月用電量超過100度時，其中的100度仍按原標準收費，超過的部分每度按0.5元計算.
（Ⅰ）設(shè)月用電
度時，應(yīng)交電費
元，寫出
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）小明家第一季度繳納電費情況如下：
月份 | 一月 | 二月 | 三月 | 合計 |
交費金額 | 76元 | 63元 | 45.6元 | 184.6元 |
問小明家第一季度共用電多少度？
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