Question

已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，且準線方程為直線l過M（1，0）與拋物線交于A，B兩點，點P在y軸的右側且滿足（O為坐標原點）。

（Ⅰ）求拋物線的方程及動點P的軌跡方程；

（Ⅱ）記動點P的軌跡為C，若曲線C的切線斜率為，滿足，點A到y軸的距離為a，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知拋物線的方程為

∴p=1，拋物線的方程為      

直線l的斜率不存在時，直線l與拋物線交于一點，不符合題意。

于是設直線l的方程為

聯立 

設兩交點為

則△=4k²－8k>0  

∴   

設

∵

∴

消去k得    

又∵P點在y軸的右側  ∴x>0，

又∵  

∴動點P的軌跡方程為

（Ⅱ）∵曲線C的方程為   

∴切線斜率   ∴  

∵，又

∴

∴

解得  

∴ 

∴a的取值范圍是：