Question

已知函數f（x）=ax²-e^x（a∈R），f′（x）是f（x）的導函數（e為自然對數的底數）．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，求實數a的取值范圍；
（3）若當x≥0時，不等式f（x）≤-x-1恒成立，求實數a的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入點斜式進行化簡，化為一般式方程；
（Ⅱ）先構造函數g（x）=f′（x），再將題意轉化為x₁，x₂是方程g（x）=0的兩個實根，再求出g′（x），對a進行分類分別求出g（x）的單調區間以及最大值，再令最大值大于零，列出關于a的不等式求解；
（Ⅲ）由題意先構造函數h（x）=e^x-ax²-x-1，轉化為h（x）≥0在[0，+∞）恒成立問題，再求出h（x）的單調性和最小值，關鍵是對a進行分類后，得到“當a=0時，e^x≥1+x”這一結論在后面的應用．
解答：心理年齡解：（Ⅰ）由題意得，當a=1時，f（x）=x²-e^x，
∴f′（x）=2x-e^x，則切線的斜率為f′（0）=-1，
∵f（0）=-e=-1，
∴所求的切線方程為：x+y+1=0；
（Ⅱ）設g（x）=f′（x）=2ax-e^x，
由題意得，x₁，x₂是方程g（x）=0（即2ax-e^x=0）的兩個實根，
則g′（x）=2a-e^x，
當a≤0時，g′（x）＜0，g（x）在定義域上遞減，即方程g（x）=0不可能有兩個實根，
當a＞0時，由g′（x）=0，得x=ln2a，
當x∈（-∞，ln2a）時，g′（x）＞0，則g（x）在（-∞，ln2a）上遞增，
當x∈（ln2a，+∞）時，g′（x）＜0，則g（x）在（-∞，ln2a）上遞減，
∴g_max（x）=g（ln2a）=2aln2a-2a，
∵方程g（x）=0（即2ax-e^x=0）有兩個實根，
∴2aln2a-2a＞0，解得2a＞e即，
（Ⅲ）設h（x）=e^x-ax²-x-1，則由題意得h（x）=e^x-ax²-x-1≥0在[0，+∞）恒成立，
則h′（x）=e^x-2ax-1，
當a=0時，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴h（x）≥h（0）=0，即e^x≥1+x，當且僅當x=0時，等號成立，
∴h′（x）=e^x-2ax-1≥1+x-2ax-1=x（1-2a），
當1-2a≥0時，即a≤，此時h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴h（x）≥h（0）=e-0-1=0，即h（x）≥0，
因而a≤時，h（x）≥0，
下面證明a＞時的情況：
由e^x≥1+x得，e^-x≥1-x，即x≥1-e^-x，
∴h′（x）=e^x-1-2ax≤e^x-1-2a（1-e^-x）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a）
當e^x＜2a時，即0＜x＜ln2a，則當x∈（0，ln2a）時，h′（x）＜0，從而h（x）＜0，
因此，對于x≥0，f（x）≤-x-1不恒成立，
綜上所得，a的最大值為．
點評：本題考查了導數的幾何意義，方程的根與函數零點的關系，導數與函數的單調性、極值、最值的綜合應用，考查了轉化思想、分類討論思想以及分析、解決問題的能力．