Question

（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分別為AB、PC的中點。 
（1）求異面直線PA與BF所成角的正切值。
（2）求證：EF⊥平面PCD。

Answer 1

解：（1）如圖，連結AC
過點F作FO⊥AC，
∴面PAC⊥面ABCD
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAC⊥AC，垂足為O，
連結BO，則FO⊥平面ABCD，且FO//PA。
∴∠BFO為異面直線PA與BF所成的角………………4分
在Rt△BOF中，OFPA=1，
OB=，則tanBFO=………………6分
（2）連結OE、CE、PE。
∵E是AB的中點，
∴OE⊥AB
又FO⊥平面ABCD，
∴EF⊥AB。
∵AB//CD
∴EF⊥CD
在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，
∴Rt△PAE≌Rt△CBE，
∴PE=CE…………………………10分
∴又F為PC的中點，
∴EF⊥PC。
故EF⊥平面PCD。……………………12分

略