Question

（2005•東城區一模）已知O為坐標原點，點E、F的坐標分別為（-1，0）和（1，0）．動點P滿足|

PE

|+|

PF

|=4．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過E點做直線與C相交于M、N兩點，且

ME

=2

EN

，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義可知，到兩個定點距離之和等于定長的點的軌跡為橢圓，所以所求點P的軌跡C為橢圓，再分別求出橢圓中a，b的值即可．
（2）當斜率存在時，設出直線MN的點斜式方程，與（1）中所求橢圓方程聯立，求出x1+x2，x1x2，再根據

.

ME

=2

.

EN

，
即可求出k，得到直線MN的方程．

解答：解：（1）∵|

.

PE

|+|

.

PF

|=4
由橢圓的第一定義可知點P的軌跡為橢圓，
且2a=4，c=1，∴a²=4，b²=3
∴所求的橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）①當直線MN的斜率不存在時，不滿足題意；
②當直線MN的斜率存在時，設其方程為y=k（x+1），
代入

x2

4

+

y2

3

=1化簡得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
設兩交點的坐標為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）
則x1+x2=

-8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

∵

M

E=2

E

N，∴x₁+2x₂=-3
∴x2=-3+

8k2

3+4k2

=

-9-4k2

3+4k2

，x1=-3-2x2=

9-4k2

3+4k2

∴

-9-4k2

3+4k2

×

9-4k2

3+4k2

=

4k2-12

3+4k2

∴k2=

5

4

，即k=±

5

2

，滿足△＞0
∴所求的直線MN的方程為y=±

5

2

(x+1)

點評：本題主要考查了定義法求軌跡方程，以及直線與橢圓位置關系的判斷．