Question

（2012•松江區三模）已知函數f（x）=x²+3x，數列{a_n}的前n項和為S_n，且對一切正整數n，點P_n（n，S_n）都在函數f（x）的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=2（a_n-1），n∈N*}，等差數列{b_n}的任一項b_n∈A∩B，其中b₁是A∩B中最的小數，且88＜b₈＜93，求{b_n}的通項公式；
（3）設數列{c_n}滿足cn=

n

an-1

，是否存在正整數p，q（1＜p＜q），使得c₁，c_p，c_q成等比數列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+3x的圖象上，可得Sn=n2+3n，再寫一式，兩式相減，即可求得數列{a_n}的通項公式；                                                 
（2）先確定A∩B=B，進而可得數列{b_n}的公差是4 的倍數，利用b₁是A∩B中最的小數，且88＜b₈＜93，即可求{b_n}的通項公式；
（3）利用c₁，c_p，c_q成等比數列，建立方程，可求正整數p，q的值．

解答：解：（1）∵點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+3x的圖象上，∴Sn=n2+3n．
當n=1時，a₁=S₁=4；
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2，
當n=1時，也滿足．
故a_n=2n+2．                                                   
（2）∵A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=2（a_n-1），n∈N^*}，
∴A={x|x=2n+2，n∈N^*}，B={x|x=4n+2，n∈N^*}
∴A∩B=B，
又∵b_n∈A∩B，∴b_n∈B即數列{b_n}的公差是4 的倍數
又A∩B中的最小數為6，∴b₁=6，∴b₈=4k+6，k∈N^*，
又∵88＜b₈＜93
∴

88＜4k+6＜93 k∈N*.

，解得k=21．                                  
等差數列{b_n}的公差為d，由b₈=6+7d=90得d=12，故b_n=12n-6
（3）∵cn=

n

an-1

=

n

2n+1

，∴c1=

1

3

，cp=

p

2p+1

，cq=

q

2q+1

若c₁，c_p，c_q成等比數列，則(

p

2p+1

)2=

1

3

(

q

2q+1

)，即

p2

4p2+4p+1

=

q

6q+3

．    
可得

3

q

=

-2p2+4p+1

p2

，所以-2p²+4p+1＞0，
從而1-

6

2

＜p＜1+

6

2

又p∈N^*，∴p=2，此時q=12．
故當且僅當p=2，q=12，使得c₁，c_p，c_q成等比數列．

點評：本題考查數列的通項，考查等比數列的性質，考查數列與函數的聯系，考查學生分析解決問題的能力，正確確定數列的通項是關鍵．