Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3ax． （Ⅰ）若函數f（x）在x=1處的切線斜率為2，求實數a；
（Ⅱ）若a=1，求函數f（x）在區間[0，3]的最值及所對應的x的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=x3﹣3ax∴f′（x）=3x2﹣3a
因為函數f（x）在x=1處的切線斜率為2，
∴f′（1）=3﹣3a=2，
∴a=
（Ⅱ）由a=1，得：函數f（x）=x3﹣3x
則：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）
令f′（x）=0，則x=1或x=﹣1

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		﹣	0	+
f（x）	0	單調遞減	極小值﹣2	單調遞增	18

故：當x=1時，f（x）min=f（1）=﹣2；
當x=3時，f（x）max=f（3）=18
【解析】（Ⅰ）求出函數f（x）的導數，利用在x=1處的切線斜率為2，列出方程即可求實數a；（Ⅱ）通過a=1，求出函數的導數，判斷函數的單調性以及函數的極值，然后求解函數的最值以及x的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．