Question

商場銷售的某種飲品每件售價為36元，成本為20元.對該飲品進行促銷：顧客每購買一件，當即連續轉動三次如圖所示轉盤，每次停止后指針向一個數字，若三次指向同一個數字，獲一等獎；若三次指向的數字是連號（不考慮順序），獲二等獎；其他情況無獎.
（1）求一顧客一次購買兩件該飲品，至少有一件獲得獎勵的概率；
（2）若獎勵為返還現金，一等獎獎金數是二等獎的2倍，統計表明：每天的銷售y（件）與一等獎的獎金額x（元）的關系式為，問x設定為多少最佳？并說明理由.

Answer 1

（1）；（2）x設定為48（元）為最佳.

試題分析：本題主要考查隨機事件的概率、離散型隨機變量的數學期望、配方法求函數最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力、轉化能力.第一問，先利用活動法則分2種情況分別求出一顧客購買一件飲品獲得一等獎和二等獎的概率，2個結果相加得到一顧客購買一件飲品獲獎的概率，用間接法在所有概率中去掉2件都沒有獲獎的概率即可；第二問，先求顧客購買一件飲品所得的獎金額的數學期望，用每件售價-每件的成本-發放的獎金額=每件所得利潤，再用這個結果乘以一天賣出的總件數得一天的總利潤，再用配方法求函數最值.
（1）記事件：“一顧客購買一件飲品獲得i等獎”為A_i，i＝1，2，則
P(A₁)，P(A₂)＝，
則一顧客一次購買一件飲品獲得獎勵的概率為
P(A₁＋A₂)＝P(A₁)＋P(A₂)＝．        4分
故一顧客一次購買兩件飲品，至少有一件獲得獎勵的概率
p＝1－(1－)²＝．          6分
（2）設一顧客每購買一件飲品所得獎金額為X元，則X的可能取值為x，，0．
由（1）得P(X＝x)＝，P(X＝)＝，E(x)＝＋＝．  9分
該商場每天銷售這種飲品所得平均利潤
Y＝y[(36－20)－E(x)]＝(＋24)(16－)＝－ (x－48)²＋432．
當x＝48時，Y最大．故x設定為48（元）為最佳．    12分