Question

(本小題12分)
如圖，正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為AB、BC的中點.
（Ⅰ）求證：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（II）當點P為棱DD₁中點時，求直線MB₁與平面A₁C₁P所成角的正弦值；
            

Answer 1

（1）略
（2）

（法一）（I）正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD， 平面ABCD， ，連結AC， M、N分別為AB、BC
的中點， MN//AC，又四邊形ABCD是正方形， ， 平面BB₁D₁D，
又平面B₁MN，
平面B₁MN平面BB₁D₁D                                           （6分）
（II）設正方體棱長為2，取CD中點H，連C₁H、MH，由于MH∥C₁B₁，MH=C₁B₁，所以四邊形C₁HM B₁為平行四邊形， M B₁∥C₁H，所以直線C₁H與平面A₁C₁P所成角θ即為直線MB₁與平面A₁C₁P所成角。設H到平面的距離為h，∵P為DD₁中點，所以A₁P=C₁P=,，，由得，h=，所以sinθ=；                    （ 12分）
（法二）
以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D₁(0,0,2)，A₁(2,0,2)，B₁(2,2,2)，C₁(0,2,2)，P(0,0,x)，M(2,1,0)，N(1,2,0)
（I） ，， ，∴，， ， ，，平面BB₁D₁D，又平面B₁MN， 平面B₁MN平面BB₁D₁D                  （6分）
（II）設為平面平面A₁C₁P的一個法向量，P為DD₁中點，P（0，0，1），，，則，也就是，，令，又,設MB₁與平面A₁C₁P所成角為θ，
則，                           （ 12分