Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為4的正方形，點為邊上任意一點（與點不重合），連接，過點作交于點，且，過點作，交于點，連接，設.

（1）求點的坐標（用含的代數式表示）

（2）試判斷線段的長度是否隨點的位置的變化而改變？并說明理由.

（3）當為何值時，四邊形的面積最小.

（4）在軸正半軸上存在點，使得是等腰三角形，請直接寫出不少于4個符合條件的點的坐標（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）（2）的長度不變（3）（4） ， ，

【解析】【試題分析】（1）作于點，依據，及，推得，即，進而依據，推得，借助，推出≌（），求出， ，則

進而求出點的坐標為；（2）借助，點，求出直線的解析式為： ，然后再依據點在直線上，且，求得，進而得到點，從而求出，即的長度不變；（3）借助（1）的結論，及，推得∽，故，從而求得， ， ，建立函數，求出當時，四邊形的面積最小，最小值6；（4）借助圖形的直觀可以探求出在軸正半軸上存在點，使得是等腰三角形，此時點的坐標為： ， ， ， ：

解：（1）作于點，∴，

∵，∴，∴，

又∵，∴，∵，

∴≌（）

∴， ，∴

∴點的坐標為.

（2）線段長度不變.

∵，點，∴直線的解析式為： ，

∵點在直線上，且， ，∴點

∴，即的長度不變.

（3）由（1）知， ，又∵

∴∽，∴，

∵， ，∴

∴，得，

∴

∵， ，

∴

∴當時，四邊形的面積最小，最小值6；

（4）在軸正半軸上存在點，使得是等腰三角形，此時點的坐標為： ， ， ，