Question

如圖,已知拋物線C₁:x²+by=b²經過橢圓C₂:+=1(a>b>0)的兩個焦點.

(1)求橢圓C₂的離心率;
(2)設點Q(3,b),又M,N為C₁與C₂不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心在拋物線C₁上,求C₁和C₂的方程.

Answer 1

（1）  （2）x²+y=1   +y²=1

解:(1)因為拋物線C₁經過橢圓C₂的兩個焦點F₁(-c,0),F₂(c,0),
所以c²+b×0=b²,
即c²=b².
又a²=b²+c²=2c²,
所以橢圓C₂的離心率e=.
(2)由(1)可知a²=2b²,
橢圓C₂的方程為+=1.
聯立拋物線C₁的方程x²+by=b²,
得2y²-by-b²=0,
解得y=-或y=b(舍去),
所以x=±b,
即M（b,-）,N（b,-）,
所以△QMN的重心坐標為(1,0).
因為重心在C₁上,
所以1²+b×0=b²,得b=1.
所以a²=2.
所以拋物線C₁的方程為x²+y=1,
橢圓C₂的方程為+y²=1.