Question

設M是由滿足下列條件的函數f(x)構成的集合：“①方程f(x)-x=0有實數根；②函數f(x)的導數f′(x)滿足0＜f′(x)＜1.”

(Ⅰ)判斷函數f(x)=+是否是集合M中的元素，并說明理由；

(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性質：若f(x)的定義域為D，則對于任意［m,n］D，都存在x₀∈［m,n］，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立，試用這一性質證明：方程f(x)-x=0只有一個實數根；

(Ⅲ)設x₁是方程f(x)-x=0的實數根，求證：對于f(x)定義域中任意的x₂，x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，|f(x₃)-f(x₂)|＜2.

Answer 1

解析：(1)因為f′(x)=+cosx,

    所以f′(x)∈［,］滿足條件0＜f′(x)＜1,

    又因為當x=0時，f(0)=0，所以方程f(x)-x=0有實數根0.

    所以函數f(x)=+是集合M中的元素.

(2)假設方程f(x)-x=0存在兩個實數根α,β(α≠β),

    則f(α)-α=0,f(β)-β=0,不妨設α＜β，根據題意存在數c∈(α,β),

    使得等式f(β)-f(α)=f(β-α)f′(c)成立，

    因為f(α)=α,f(β)=β，且α≠β，所以f′(c)=1,

    與已知0＜f′(x)＜1矛盾，所以方程f(x)-x=0只有一個實數根；

(3)不妨設x₂＜x₃，因為f′(x)＞0，所以f(x)為增函數，所以f(x₂)＜f(x₃),又因為f′(x)-1＜0,所以函數f(x)-x為減函數，

    所以f(x₂)-x₂＞f(x₃)-x₃,

    所以0＜f(x₃)-f(x₂)＜x₃-x₂,即|f(x₃)-f(x₂)|＜|x₃-x₂|,

    所以|f(x₃)-f(x₂)|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-(x₂-x₁)|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2.