Question

（本題滿分10分）一只小船以10 m/s的速度由南向北勻速駛過湖面，在離湖面高20米的橋上，一輛汽車由西向東以20 m/s的速度前進（如圖），現在小船在水平面P點以南的40米處，汽車在橋上Q點以西30米處（其中PQ⊥水面），求小船與汽車間的最短距離（不考慮汽車與小船本身的大小）.

Answer 1

解：設經過時間t汽車在A點，船在B點，（如圖）…………1分
則AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，
…………3分
設小船所在平面為,AQ,QP確定平面為β,記∩β=l,由AQ∥,AQβ得AQ∥l，
又PQ⊥水面，即PQ⊥，作AC∥PQ，則AC⊥.連結CB，則AC⊥CB .
再由AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，                                     …………5分
∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40–10t）2+(30–20t)2
=100［5(t–2)2+9］,                                                    …………8分
t=2時AB最短，最短距離為30 m.                                    …………10分

略