Question

已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根和，
（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）求證：.

Answer 1

（1）時(shí)，在遞增；  時(shí)，在遞增；遞減   時(shí)，在遞減；遞增  
（2 的取值范圍是      （ⅱ）  

本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。借助于導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系來確定單調(diào)區(qū)間，以及運(yùn)用函數(shù)與方程的思想來分析方程根的問題的綜合運(yùn)用。
（1）首先先求解定義域，然后求解導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于零或者導(dǎo)數(shù)小于零，得到單調(diào)區(qū)間。需要對(duì)于參數(shù)a分類討論。
（2）當(dāng)a=1，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則可以分析函數(shù)y=f(x)的圖像的變化情況，確定參數(shù)k的取值范圍。同時(shí)借助于單調(diào)性證明不等式
（1）
時(shí)，在遞增； 又時(shí)
時(shí)，在遞增；遞減
時(shí)，在遞減；遞增    5分
（2）（ⅰ）由（1）知在遞增；遞減 ∴  6分
又，而    ∴
所以的取值范圍是                                                 8分
（ⅱ）由（ⅰ）不妨設(shè)，則
∵在遞減，∴要證. 即證.
即證，即證
令，
則
∴在遞增  ∴，即，即， ∴