Question

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．求：
（1）異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B的正弦值；
（3）此幾何體的體積V的大小．

Answer 1

（1）取EC的中點是F，連接BF，
則BF∥DE，∴∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．
在△BAF中，AB=4

2

，BF=AF=2

5

，
cos∠ABF=

10

5

，．
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為

10

5

．（3分）
（2）AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．可得DE⊥平面ACG，從而AG⊥DE
∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．
在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=

8 5

5

∴tan∠AGC=

5

2

，．∴sin∠AGC=

5

3

．
∴二面角A-ED-B的正弦值為

5

3

．（6分）
（3）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=2，
∴S_梯形BCED=

1

2

×（4+2）×4=12
∴V=

1

3

•S_梯形BCED•AC=

1

3

×12×4=16．
即該幾何體的體積V為16．