Question

【題目】如圖在三棱錐S﹣ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC= ，M為AB的中點(diǎn)．
（I）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面SCM的距離．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接DS，DB．∵SA=SC，BA=BC，
∴AC⊥DS，且AC⊥DB，DS∩DB=D，
∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，
∴AC⊥SB．
（Ⅱ）解：∵SD⊥AC，平面SAS⊥平面ABC，
∴SD⊥平面ABC．
如圖，過D作DE⊥CM于E，連接SE，則SE⊥CM，
∴在Rt△SDE中，SD=1，DE= ，
∴SE= ．CM是邊長(zhǎng)為2的正△ABC的中線，∴CM= ．
∴ = ．
= ．
設(shè)點(diǎn)B到平面SCM的距離為h，
則由VB﹣SCM=VS﹣BCM得 ，
∴ ．

【解析】（Ⅰ）欲證AC⊥SB，取AC中點(diǎn)D，連接DS、DB，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，只須證AC⊥SD且AC⊥DB，即得；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B到平面SCM的距離為h，利用等體積法：VB﹣SCM=VS﹣CMB ， 即可求得點(diǎn)B到平面SCM的距離．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．