Question

【題目】已知數列{an}的前 n 項和為 Sn ， a1=1，且 an+1=2Sn+1，n∈N ．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令 c=log3a2n ， bn= ，記數列{bn}的前 n 項和為Tn ， 若對任意 n∈N ， λ＜Tn 恒成立，求實數 λ 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn+1，n∈N ， n≥2時，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an ， 即an+1=3an ． n=1時，a2=2a1+1=3=3a1 ， 滿足上式．
∴數列{an}是等比數列，∴an=3n﹣1 ．
（II） c=log3a2n= =2n﹣1．
bn= = = ，
數列{bn}的前 n 項和Tn=
=
∵對任意 n∈N ， λ＜Tn 恒成立，
∴λ＜ = ．
∴實數 λ 的取值是
【解析】（I）an+1=2Sn+1，n∈N ， n≥2時，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an ， 即an+1=3an ． n=1時，a2=2a1+1=3，滿足上式．利用等比數列的通項公式即可得出．（II） c=log3a2n= =2n﹣1．bn= = = ，利用“裂項求和”及其數列的單調性即可得出．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．