Question

在△ABC中，中線長AM＝2.

（1）若＝－2，求證：＋＋＝0；
（2）若P為中線AM上的一個動點，求·(＋)的最小值．

Answer 1

（1）見解析；（2）最小值－2.

解析試題分析：（1） ∵M是BC的中點，∴＝ (＋)．代入＝－2，得＝－－，即＋＋＝0
（2）若P為中線AM上的一個動點，若AM＝2，我們易將·(＋),轉化為－2||||=2(x－1)²－2的形式，然后根據二次函數在定區間上的最值的求法，得到答案．
試題解析：（1）證明：∵M是BC的中點，
∴＝ (＋)              ..3分
代入＝－2，得＝－－，          .2分
即＋＋＝0               1分
（2）設||＝x，則||＝2－x(0≤x≤2)            .1分
∵M是BC的中點，∴＋＝2         2分
∴·(＋)＝2·＝－2||||
＝－2x(2－x)＝2(x²－2x)＝2(x－1)²－2，              2分
當x＝1時，取最小值－2                ..1分
考點：平面向量數量積的運算.