Question

（2012•宣威市模擬）已知a＜b＜0，奇函數f（x）的定義域為[a，-a]，在區間[-b，-a]上單調遞減且f（x）＞0，則在區間[a，b]上（　�。�

A．f （x）＞0且|f （x）|單調遞減

B．f （x）＞0且|f （x）|單調遞增

C．f （x）＜0且|f （x）|單調遞減

D．f （x）＜0且|f （x）|單調遞增

Answer 1

分析：根據奇函數圖象關于原點對稱，得到區間[a，b]上的單調性與區間[-b，-a]上相同，從而得到f（x）在區間[a，b]上的最大值f（a）負數，則所有值都為負數．最后根據y=|f（x）|的圖象與y=f（x）圖象關于x軸對稱，得函數y=|f（x）|的單調性y=f（x）相反，在區間[a，b]上是增函數．

解答：解：∵函數f（x）是奇函數，圖象關于原點對稱
∴函數f（x）在關于原點對稱的區間上有相同的單調性
∵f（x）在區間[-b，-a]上單調遞減
∴f（x）在區間[a，b]上也是單調遞減函數
∵在區間[-b，-a]上f（x）＞0，
∴函數的最小值f（-a）＞0，可得-f（a）＞0，即f（a）＜0，
因此，f（x）在區間[a，b]上的最大值f（a）負數，
∴f（x）＜0在區間[a，b]上恒成立
∵f（x）＜0，且f（x）在區間[a，b]上單調遞減，
∴函數y=|f（x）|的圖象與y=f（x）圖象關于x軸對稱，
由此可得函數y=|f（x）|的單調性y=f（x）相反，在區間[a，b]上是增函數．
故選：D

點評：本題給出奇函數在已知區間上的單調性和符號，要我們探索其在對稱的區間上的單調性和符號．著重考查了函數單調性、奇偶性及其相互關系等知識，屬于中檔題．