Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側棱和底面垂直的棱柱）中，有AC⊥AB，AC=AB=AA₁=2，E，F分別是棱AB，A₁C₁的中點．
（I）證明：EF∥平面BCC_1B1；
（II）求點C₁到平面AFB₁的距離．

Answer 1

分析：（I）作B₁C₁的中點D，連接FD、BD，只要證明FE∥BD，即可證明FE∥平面BCC₁B₁；
（II）設點C₁到平AFB₁的距離為h，由（I）知h是三棱錐C₁-AFB₁的高，先求出三角形AFB₁的面積，再利用換低公式和體積相等求出C₁到平面AFB₁的距離．

解答：解：（Ⅰ）證明：如圖：作B₁C₁的中點D，連接FD、BD，
FD∥

1

2

A₁B₁，且FD=

1

2

A₁B₁，FB∥

1

2

A₁B₁，且FB=

1

2

A₁B₁，∴FD∥EB，且FD=EB
∴四邊形FEBD是平行四邊形，∴FE∥BD
又FE∥BD，BD?平面BCC₁B₁，∴FE∥平面BCC₁B₁，
（Ⅱ）可以計算出AF=B₁F=

5

，AB₁=2

2

，所S △AFB 1=

6

，
設點C₁到平AFB₁的距離為h，
則由

1

3

S_△AFB₁×h=

1

3

×S B1FC 1×AA 1，即可算得h=

6

3

（13分）
∴點C₁到平面AFB₁的距離

6

3

點評：本題考查直線與平面平行的判定，點、線、面間的距離計算的知識，考查了轉化思想和推理論證能力．特別注意的是求點到面的距離可用體積相等和換底求解．