Question

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)．
 
(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C­PB­A的余弦值．.

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.又BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)過C作CM∥AP，則CM⊥平面ABC.
如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CB，CA，CM為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

在Rt△ABC中，因?yàn)?i>AB＝2，AC＝1，所以BC＝.
因?yàn)?i>PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．
故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．
設(shè)平面BCP的法向量為n₁＝(x₁，y₁，z₁)，
則所以
不妨令y₁＝1，則n₁＝(0,1，－1)．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035046220391.png" style="vertical-align:middle;" />＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，
設(shè)平面ABP的法向量為n₂＝(x₂，y₂，z₂)，
則所以
不妨令x₂＝1，則n₂＝(1，，0)．
于是cos〈n₁，n₂〉＝＝.
所以由題意可知二面角C­PB­A的余弦值為