Question

對數列，規定為數列的一階差分數列，其中， 對自然數，規定為的階差分數列，其中．
（1）已知數列的通項公式，試判斷，是否為等差或等比數列，為什么？
（2）若數列首項，且滿足，求數列的通項公式。
（3）對（2）中數列，是否存在等差數列，使得對一切自然都成立？若存在，求數列的通項公式；若不存在，則請說明理由。

Answer 1

（1）是首項為2，公差為0的等差數列；也是首項為2，公比為1的等比數列。
（2），，，，猜想：
證明：數學歸納法。
（3）組合數性質證得，存在等差數列，，使得對一切自然都成 。

試題分析：（1）， 1分
∴是首項為4，公差為2的等差數列。            2分
                3分
∴是首項為2，公差為0的等差數列；也是首項為2，公比為1的等比數列。
4分
（2），即，即，∴          6分
∵，∴，，，猜想：
7分
證明：ⅰ）當時，；
ⅱ）假設時，            8分
時， 結論也成立
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，           10分
（3），即
.   ...11分
∵       13分
∴存在等差數列，，使得對一切自然都成  14分
點評：中檔題，本題綜合性較強，將數列、數學歸納法、二項式系數的性質、組合數公式等綜合考查。利用“功能、猜想、證明”的方法，研究得到數列的特征，是常見題型。（3）小題利用二項式系數的性質及組合數公式，得到證明恒等式的目的。