Question

已知函數，現給出下列命題：
①當圖象是一條連續不斷的曲線時，則a=；
②當圖象是一條連續不斷的曲線時，能找到一個非零實數a，使得f（x）在R上是增函數；
③當時，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立；
④當時，則方程f（x²+1）-f（2x+4）=0的解集為{-1，3}；
⑤函數 y=f（|x+1|）是偶函數．
其中正確的命題是（ ）
A．①②③
B．②④⑤
C．①③④
D．①②③④⑤

Answer 1

【答案】分析：當圖象是一條連續不斷的曲線時f（x）=[（3a-1）x+5a]=8a-1= f（x）=log_a x=0，解方程后可判斷①；
由①中結論，判斷f （x）在R上的單調性，可判斷②；
當a∈{m|＜m＜，m∈R}時，1+a＞1，1-a＜1，不等式f（1+a）•f（1-a）＜0可化為[（3a-1）（1-a）+5a]•[log_a （1+a）]＜0，解不等式可判斷③；
當時，解方程f（x²+1）-f（2x+4）=0，可判斷④；
根據函數奇偶性的定義，判斷函數 y=f（|x+1|）的奇偶性，可判斷⑤
解答：解：f（x）=[（3a-1）x+5a]=8a-1，f（x）=loga x=0，
∵圖象是一條連續不斷的曲線，
∴8a-1=0，a=，故①正確；
當圖象是一條連續不斷的曲線時，
a=，f （x）在R上是減函數，故②不正確；
當a∈{m|＜m＜，m∈R}時，1+a＞1，1-a＜1，
不等式f（1+a）•f（1-a）＜0可化為[（3a-1）（1-a）+5a]•[log_a （1+a）]＜0，
∵log_a （1+a）＜0，（3a-1）（1-a）+5a＞0恒成立
∴不等式f（1+a）•f（1-a）＜0恒成立，故③正確；
當時，則方程f（x²+1）-f（2x+4）=0可化為：
log （x²+1）-log （2x+4）=0，（x≥），解得x=3，x=-1
或log （x²+1）+x-=0，（x＜），此時方程無解
綜上原方程的解集為{-1，3}；故④正確；
函數 y=f（|x+1|）是偶函數不成立．即⑤不正確．
故選C．
點評：本題考查命題的真假判斷與應用，解題時要注意極限和連續的合理運用．