Question

已知函數(shù)，且在處的切線斜率為．
（1）求的值，并討論在上的單調(diào)性；
（2）設函數(shù)，其中，若對任意的總存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) 在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減
(Ⅱ)

試題分析：(Ⅰ)

∴     ∴
∴，或
∴，或
則在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減
(Ⅱ)當時，單調(diào)遞增，
∴   則依題在上恒成立

①當時，，∴在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，即時成立
②當時，當時，，此時單調(diào)遞減，
∴，故時不成立，綜上
點評：典型題，本題屬于導數(shù)內(nèi)容中的基本問題，（1）運用“函數(shù)在某點的切線斜率，就是該點的導數(shù)值”，確定直線的斜率。通過研究導數(shù)值的正負情況，明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。不等式恒成立問題，一般的要轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題。