Question

某學校實施“十二五高中課程改革”計劃，高三理科班學生的化學與物理水平測試的成績抽樣統計如下表．成績分A（優秀）、B（良好）、C（及格）三種等級，設x、y分別表示化學、物理成績．例如：表中化學成績為B等級的共有20+18+4=42人．已知x與y均為B等級的概率為0.18．

xy	A	B	C
A	7	20	5
B	9	18	6
C	a	4	b

（Ⅰ）求抽取的學生人數；
（Ⅱ）若在該樣本中，化學成績的優秀率是0.3，求a，b的值；
（Ⅲ）物理成績為C等級的學生中，已知a≥10，12≤b≤17，隨機變量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）由題意x與y由所給的表格可以知道化學與物理成績均為B等級的總人數為18，設該樣本總人數為n，利用古典概型隨機事件的概率公式，即可求出；
（II）由表格及第一問可以知道樣本人數為100，而在該樣本中，化學成績的優秀得人數為7+9+a，利用古典概型隨機事件的概率公式可以知道a的值；
（III）由題意知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，所以滿足條件的（a，b）有（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），共6組，利用隨機變量的定義及其分布列可以求出隨機變量的分布列，再由期望定義即可求解．

解答：解：（Ⅰ）依題意，

18

n

=0.18，得n=100；
（Ⅱ）由

7+9+a

100

=0.3，得a=14．
∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17；
（Ⅲ）由題意，知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，
∴滿足條件的（a，b）有：（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），共6組．
∵ξ=|a-b|，
∴ξ的取值為1，3，5，7.P(ξ=1)=

2

6

=

1

3

，P(ξ=3)=

2

6

=

1

3

，P(ξ=5)=

1

6

，P(ξ=7)=

1

6

．
故ξ的分布列為

ξ	1	3	5	7
P	1 3	1 3	1 6	1 6

∴Eξ=1×

1

3

+3×

1

3

+5×

1

6

+7×

1

6

=

10

3

．

點評：此題重點考查了學生準確的理解題意的能力，還考查了古典概型隨機事件的概率公式及離散型隨機變量的定義及其分布列與期望的定義．