Question

設函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（Ⅰ）當a=b=

1

2

時，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

，（0＜x≤3），其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一實數解，求正數m的值．

Answer 1

分析：（I）函數的定義域是（0，+∞），把a=b=

1

2

代入函數解析式，求其導數，根據求解目標，這個導數在函數定義域內只有一個等于零的點，判斷這唯一的極值點是極大值點即可；
（II）即函數F（x）的導數在（0，3]小于或者等于

1

2

恒成立，分離參數后轉化為函數的最值；
（III）研究函數是單調性得到函數的極值點，根據函數圖象的變化趨勢，判斷何時方程2mf（x）=x²有唯一實數解，得到m所滿足的方程，解方程求解m．

解答：解：（I）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞），當a=b=

1

2

時，f(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

（2′）
令f'（x）=0，解得x=1．（∵x＞0）
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0，當0＜x＜1時，f'（x）＞0，此時f（x）單調遞增；
當x＞1時，f'（x）＜0，此時f（x）單調遞減．
所以f（x）的極大值為f(1)=-

3

4

，此即為最大值…（4分）
（II）F(x)=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，則有k=F′(x0)=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

，在x₀∈（0，3]上恒成立，
所以a≥(-

1

2

x

2 0

+x0)max，x₀∈（0，3]，
當x₀=1時，-

1

2

x

2 0

+x0取得最大值

1

2

，
所以a≥

1

2

…（8分）
（III）因為方程2mf（x）=x²有唯一實數解，所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數解，
設g（x）=x²-2mlnx-2mx，則g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

．
令g'（x）=0，x²-mx-m=0．因為m＞0，x＞0，
所以x1=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x2=

m+ m2+4m

2

，
當x∈（0，x₂）時，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調遞減，
當x∈（x₂，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調遞增
當x=x₂時，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．（12′）
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

既

x 2 2 -2mlnx2-2mx2=0 x 2 2 -mx2-m=0.

所以2mlnx₂+mx₂-m=0，因為m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
設函數h（x）=2lnx+x-1，因為當x＞0時，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，即

m+ m2+4m

2

=1，解得m=

1

2

．…（12分）

點評：本題考查導數在研究函數性質、研究不等式和方程問題中的綜合運用，試題的難度不大，但考查點極為全面．本題的難點是第三問中方程解的研究，當函數具有極值點時，在這個極值點左右兩側，函數的單調性是不同的，這樣就可以根據極值的大小，結合函數圖象的變化趨勢確定方程解的個數，如本題中函數在定義域內有唯一的極值點，而且是極小值點，也就是最小值點，如果這個最小值小于零，函數就出現兩個零點，方程就有兩個不同的實數解，只有當這個最小值等于零時，方程才有一個實數解，而最小值等于零的這個極小值點x滿足在此點處的導數等于零，函數值也等于零，即我們的解析中的方程組

g(x2)=0 g′(x2)=0

，由這個方程組求解m使用了構造函數通過函數的性質得到x₂的方法也是值得仔細體會的技巧．