Question

【題目】設函數，，．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，討論函數與圖像的交點個數．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)1個.

【解析】試題分析: （Ⅰ）對函數求導,根據導函數大于0和小于0,求其增減區間即可; （Ⅱ）構造函數,利用導數研究其圖象特征,即可求得函數的零點即所要求的函數圖象的交點.

試題解析:（Ⅰ）函數的定義域為．

，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增．

綜上，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是．

（Ⅱ）令，，問題等價于求函數的零點個數，

，

當時，，函數為減函數，

注意到，，∴有唯一零點 .

當時，或時，；時，，

∴ 函數在和單調遞減，在單調遞增，

注意到，，∴有唯一零點．

綜上，函數有唯一零點，即兩函數圖象總有一個交點．