Question

(Ⅰ)已知函數f(x)=x³-x，其圖象記為曲線C，
(ⅰ)求函數f(x)的單調區間；
(ⅱ)證明：若對于任意非零實數x₁，曲線C與其在點P₁(x₁，f(x₁))處的切線交于另一點P₂(x₂，f(x₂))，曲線C與其在點P₂處的切線交于另一點P₃(x₃，f(x₃))，線段P₁P₂，P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S₁，S₂，則為定值；
(Ⅱ)對于一般的三次函數g(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)，請給出類似于(Ⅰ)(ⅱ)的正確命題，并予以證明．

Answer 1

解：(Ⅰ)(ⅰ)由f(x)=x3-x得f′(x)=3x2-1=， 當x∈時，f′(x)＞0； 當x∈時，f′(x)＜0； 因此，f(x)的單調遞增區間為， 單調遞減區間為。 (ⅱ)曲線C在點P1處的切線方程為y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1， 即y=(3x12-1)x-2x13， 由得x3-x=(3x12-1)x-2x13， 即(x-x1)2(x+2x1)=0，解得x=x1或x=-2x1，故x2=-2x1， 進而有 ， 用x2代替x1，重復上述計算過程， 可得x3=-2x2和S2=； 又x2=-2x1≠0， 所以， 因此有。
(Ⅱ)記函數g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象為曲線C′， 類似于(Ⅰ)(ⅱ)的正確命題為：若對于任意不等于的實數x1，曲線C′與其在點P1(x1，g(x1))處的切線交于另一點P2(x2，g(x2))，曲線C′與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3，g(x3))，線段P1P2，P2P3與曲線C′所圍成封閉圖形的面積分別別為S1，S2，則為定值． 證明如下：因為平移變換不改變面積的大小， 故可將曲線y=g(x)的對稱中心平移至坐標原點， 因而不妨設g(x)=ax3+hx，且x1≠0， 類似(Ⅰ)(ⅱ)的計算可得， 故。