Question

設數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，對每一個k∈N^*，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個2，得到新數列{b_n}，設A_n、B_n分別是數列{a_n}和{b_n}的前n項和．
（1）a₁₀是數列{b_n}的第幾項；
（2）是否存在正整數m，使B_m=2010？若不存在，請說明理由；否則，求出m的值；
（3）設a_m是數列{b_n}的第f（m）項，試比較：B_f（m）與2A_m的大小，請詳細論證你的結論．

Answer 1

分析：（1）因為在數列{b_n}中，對每一個K∈N^*，在a_k與a_k+1之間有2^k-1個2，所以a₁₀在數列{b_n}中的項數為：10+1+2+4+…+2⁸ 故問題得解；
（2）先根據條件求出a_m及其前面所有項之和的表達式2ⁿ+n²-2，再根據2¹⁰+10²-2=1122＜2010＜2¹¹+11²-2，即可找到滿足條件的m的值； 
（3）由（2）知B_f（m）=2^m+m²-2又A_m=1+3+5+…+（2m-1）=m²，要比較B_f（m）與2A_m的大小，作差，再進行討論即可．

解答：解：（1）在數列{b_n}中，對每一個K∈N^*，
在a_k與a_k+1之間有2^k-1個2，∴a₁₀在數列{b_n}中的項數為：10+1+2+4+…+2⁸   …（2分）
=10+

1-29

1-2

=521即a10是數列{bn}中第521項   …（3分）
（2）a_n=1+（n-1）•2=2n-1，在數列{b_n}中，a_n及其前面所有項的和為：[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+4+…+2^n-1）=n2+

2×(1-2n-1)

1-2

=2n+n2-2…（5分）
∵2¹⁰+10²-2=1122＜2010＜2¹¹+11²-2
且2010-1122=888=444×2
∴存在m=521+444=965，使得B_m=2010…（8分）
（3）由（2）知B_f（m）=2^m+m²-2又A_m=1+3+5+…+（2m-1）=m²
∴B_f（m）-2A_m=（2^m+m²-2）-2m²=2^m-（m²+2）…（10分）
當m=1時，2^m=2，m²+2=3，故2^m＜m²+2；
當m=2時，2^m=4，m²+2=6，故2^m＜m²+2；
當m=3時，2^m=8，m²+2=11，故2^m＜m²+2；
當m=4時，2^m=16，m²+2=18，故2^m＜m²+2； …（12分）
當m≥5時，2m=1+

C

1 m

+

C

2 m

+…+

C

m-2 m

+

C

m-1 m

+1≥2(1+m+

m(m-1)

2

)
因而當m=1，2，3，4時，B_f（m）＜2A_m；
當m≥5時且m∈N^*時，B_f（m）＞2A_m…（14分）

點評：本題綜合考查了數列與函數的知識．解決第（2）問的關鍵在于求出a_m及其前面所有項之和的表達式，有一定的難度．