Question

【題目】已知函數 為奇函數．
（1）求a的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并根據函數單調性的定義證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）是奇函數，且f（x）的定義域為R；

∴ ；

∴a=﹣1；

（2）f（x）= ；

函數f（x）在定義域R上單調遞增．

理由：設x1＜x2，則：

；

∵x1＜x2；

∴ ；

∴ ；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴函數f（x）在定義域R上單調遞增．

【解析】（1）f（x）的定義域為R，且f（x）為奇函數，所以一定有f（0）=0，代入可得a=-1，（2）根據函數單調性的定義進行判斷，設x1＜x2，對f(x1)，f(x2)進行作差即可得出函數f（x）在定義域R上單調遞增．
【考點精析】關于本題考查的奇偶性與單調性的綜合，需要了解奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能得出正確答案．