Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn+an=4，n∈N* ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）已知cn=2n+3（n∈N*），記dn=cn+logCan（C＞0且C≠1），是否存在這樣的常數C，使得數列{dn}是常數列，若存在，求出C的值；若不存在，請說明理由．
（3）若數列{bn}，對于任意的正整數n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立，求證：數列{bn}是等差數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵且Sn+an=4，n∈N*．∴當n≥2時，Sn﹣1+an﹣1=4，∴an+an﹣an﹣1=0，即 ．

當n=1時，2a1=4，解得a1=2．

∴數列{an}是等比數列，an= =22﹣n．

（2）解：dn=cn+logCan=2n+3+ =2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2，

假設存在這樣的常數C，使得數列{dn}是常數列，

則2﹣logC2=0，解得C= ．

∴存在這樣的常數C= ，使得數列{dn}是常數列，dn=3+ =7．

（3）證明：∵對于任意的正整數n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立（*），

∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1= ．①

（*）兩邊同乘以 可得：b1an+1+b2an+…+bna2= ﹣ ．②．

①﹣②可得bn+1a1= = ，

∴ ，

∴ ，（n≥3）．

又2b1= ，解得b1= ．

b1a2+b2a1= ，

∴ +b2×2=﹣ ，解得b2= ．

當n=1，2時， ，也適合．

∴ ，（n∈N*）是等差數列．

【解析】（1）利用“當n=1時，a1=S1；當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出；（2）dn=cn+logCan=2n+3+ =（2﹣logC2）n+3+2logC2，假設存在這樣的常數C，使得數列{dn}是常數列，則2﹣logC2=0，解得C即可．（3）由于對于任意的正整數n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立（*），b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1= ．（*）兩邊同乘以 可得：b1an+1+b2an+…+bna2= ﹣ ．兩式相減可得可得 ，即 ，（n≥3）．n=1，2也成立，即可證明．
【考點精析】通過靈活運用等差關系的確定和數列的前n項和，掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．