Question

【題目】已知圓C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和拋物線E：y2＝2px（p＞0），圓C與拋物線E的準(zhǔn)線交于M、N兩點(diǎn)，△MNF的面積為p，其中F是E的焦點(diǎn)．

（1）求拋物線E的方程；

（2）不過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，設(shè)點(diǎn)Q為圓C上任意一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q到直線l的距離最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x （2）y＝5x﹣20

【解析】

（1）求得圓的圓心和半徑，拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由三角形的面積公式和圓的弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得，可得拋物線的方程；

（2）不過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線的方程設(shè)為，，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件，解方程可得，即有動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圖象可得直線時(shí)，到直線的距離最大，求得直線的斜率，可得所求方程．

解：（1）圓的圓心，半徑為1，

拋物線的準(zhǔn)線方程為，，，

由的面積為，可得，即，

可得經(jīng)過(guò)圓心，可得．則拋物線的方程為；

（2）不過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線的方程設(shè)為，，

聯(lián)立拋物線方程，可得，

設(shè)，，，，可得，，

由可得，即，即，解得，

則動(dòng)直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，

當(dāng)直線時(shí)，到直線的距離最大，

由，可得到直線的距離的最大值為，

此時(shí)直線的斜率為，

直線的斜率為5，可得直線的方程為．