Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （參考數(shù)據(jù)： ， ）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（I）；求導(dǎo)得，只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，從而證明即可得結(jié)論；（II）討論時(shí)， 時(shí)兩種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，排除不合題意的情況，從而可得使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是.

求導(dǎo)得.

設(shè)，則與同號(hào).

所以，若，則對(duì)任意恒成立.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

又，

所以當(dāng)時(shí)，滿足.即當(dāng)時(shí)，滿足.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

由，又， 時(shí)， ，

取，則，

所以一定存在某個(gè)實(shí)數(shù)，使得.

故在上， ；在上， .

即在上， ；在上， .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.此時(shí)函數(shù)只有1個(gè)極值點(diǎn)，不合題意，舍去；

②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故函數(shù)的單調(diào)情況如下表：

		0	＋
		極小值

要使函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則需滿足，即，

解得又， ，

所以.

此時(shí)， ，

又， ；

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn).