Question

若函數(shù)f(x)=

x2+3x-4 x-1 (x＞1) n+x3(x≤1)

在x=1處連續(xù)，則(x+

1

x

-2)n展開式中常數(shù)項(xiàng)是（　　）

• A、70
• B、-70
• C、140
• D、-140

Answer 1

分析：首先由函數(shù)連續(xù)的意義，可得

lim

n→1+

x2+3x-4

x-1

=5=n+（1）³，可得n的值，進(jìn)而可得，（x+

1

x

-2）⁴=（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2），其常數(shù)項(xiàng)必然是4個(gè)括號(hào)中，都取（-2）；或兩個(gè)取x，剩下兩個(gè)取（

1

x

）；或兩個(gè)取（-2），剩下兩個(gè)一個(gè)取x，一個(gè)取（

1

x

）；分別求出其情況數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，若函數(shù)f(x)=

x2+3x-4 x-1 (x＞1) n+x3(x≤1)

在x=1處連續(xù)，
則有

lim

n→1+

x2+3x-4

x-1

=5=n+（1）³，
解可得，n=4；
（x+

1

x

-2）⁴=（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2）•（x+

1

x

-2），
其常數(shù)項(xiàng)必然是4個(gè)括號(hào)中，都取（-2）；或兩個(gè)取x，剩下兩個(gè)取（

1

x

）；或兩個(gè)取（-2），剩下兩個(gè)一個(gè)取x，一個(gè)取（

1

x

）；
則其常數(shù)項(xiàng)為（-2）⁴+C₄²+C₄²•C₂¹•（-2）²=16+6+48=70；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意分類討論時(shí)，要全面考慮，也可由二項(xiàng)式定理解題．