Question

（12分）已知在數(shù)列中，，是其前項(xiàng)和，且
（I）求；(II)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(III)令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證：當(dāng)時(shí)， 。

Answer 1

（I）；(II)見解析； (III)見解析.

（1）令，代入可求出；
（2）代入整理得，所以數(shù)列是等差數(shù)列；
（3）由（1），（2）可求得，。所以。當(dāng)時(shí)，；兩邊平方整理得。疊加得
，放縮求得，即證得結(jié)論。
（I）；
(II)由條件可得，
兩邊同除以，得：
所以：數(shù)列成等差數(shù)列，且首項(xiàng)和公差均為1
(III)由（Ⅰ）可得：，，代入可得，所以，.
當(dāng)時(shí)，
平方則
疊加得

又
=