Question

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，且過雙曲線的頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）命題：“設、是雙曲線上關于它的中心對稱的任意兩點， 為該雙曲線上的動點，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值”．試類比上述命題，寫出一個關于橢圓的類似的正確命題，并加以證明和求出此定值；
（3）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于方程（，不同時為負數）的曲線的統一的一般性命題（不必證明）.

Answer 1

（1）．
（2）關于橢圓的正確命題是：設、是橢圓上關于它
的中心對稱的任意兩點，為該橢圓上的動點，若直線、均存在斜率，
則它們的斜率之積為定值．（定值）
（3）關于方程（，不同時為負數）的曲線的統一的一般性命題是：
設、是方程（，不同時為負數）的曲線上關于它的中心對稱的任意兩點，為該曲線上的動點，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值.

試題分析：（1）設橢圓的方程為，半焦距為，
則，，
橢圓的方程為．
（2）關于橢圓的正確命題是：設、是橢圓上關于它
的中心對稱的任意兩點，為該橢圓上的動點，若直線、均存在斜率，
則它們的斜率之積為定值．
證明如下：
設點，，，
直線、的斜率分別為，
則，
點，在橢圓上，
，且，
， 即，
所以，（定值）
（3）關于方程（，不同時為負數）的曲線的統一的一般性命題是：
設、是方程（，不同時為負數）的曲線上關于它的中心對稱的任意兩點，為該曲線上的動點，若直線、均存在斜率，則它們的斜率之積為定值.
點評：中檔題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，注意明確焦點軸和a,b,c的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）注意將斜率用坐標表示出來，易于發現關系。本題得到一般性結論，對指導學生學習探究很有裨益。